Застосування первісної в математиці

Рассмотрим окружность с центром в начале координат х²+у²=R²

Тогда её часть расположенная выше оси абсцисс есть график функции , где .

Используя геометрический смысл определённого интеграла площадь круга радиуса R

равна

Вычислим этот интеграл, пользуясь заменой переменной: .

При возрастании переменной ? что будет происходить с переменной х? возрастает от – R до R.

 и 

Тогда получим 

Как упростить подынтегральное выражение? Вынести R² за знак интеграла и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

, тогда 

Таким образом мы получили известную нам формулу для вычисления площади круга S=?R^2.

3. Объём тела вращения (слайд 10–11)

Пусть Г график непрерывной положительной функции у=f(x) в прямоугольной системе координат хОу.Необходимо вычислить объём тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикулярно оси х. Если тело разбито на части как можно найти его объём? Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих. Поэтому можно разбить наше тело на части.

Разобьем отрезок [a;b] на части точками a<x₀<x₁<…..<x_n<b. Рассмотрим цилиндр с высотой  и радиуса основания y_k = f(x_k).

Как можно вычислить объём цилиндра? 

Тогда объем нашего цилиндра будет равен 

Тогда объём всего тела может быть записан при помощи приближённого равенства . Чтобы получить точное равенство надо взять предел 

По определению определённого интеграла  мы получили формулу для вычисления объёма тела вращения.

4. Решение задач

№ 1. Используя формулу объёма тела вращения, получите формулу для вычисления объёма конуса. (слайд 12)

Чтобы воспользоваться полученной формулой необходимо задать с помощью функции прямую, которую будем вращать вокруг оси Ох.

Уравнение прямой y=kx

k – угловой коэффициент прямой k=tg?=

тогда уравнение прямой примет вид 

То есть объём конуса можно вычислить по формуле 

№ 2. (самостоятельно) (слайд 13)

Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= sinx, 0?х??, вокруг оси Ох.

№ 3 Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (слайд 14)

, х=0, у= вокруг оси Оу

Решение:

Аналогично можно доказать, что объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу можно вычислить по формуле