Рассмотрим окружность с центром в начале координат х2+у2=R2
Тогда её часть расположенная выше оси абсцисс есть график функции
, где
.


Используя геометрический смысл определённого интеграла площадь круга радиуса R
равна
Вычислим этот интеграл, пользуясь заменой переменной:
.

При возрастании переменной ? что будет происходить с переменной х? возрастает от – R до R.


Тогда получим 

Как упростить подынтегральное выражение? Вынести R2 за знак интеграла и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством



Таким образом мы получили известную нам формулу для вычисления площади круга S=?R2.
3. Объём тела вращения (слайд 10–11)
Пусть Г график непрерывной положительной функции у=f(x) в прямоугольной системе координат хОу.Необходимо вычислить объём тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикулярно оси х. Если тело разбито на части как можно найти его объём? Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих. Поэтому можно разбить наше тело на части. | ![]() |
Разобьем отрезок [a;b] на части точками a<x0<x1<…..<xn<b. Рассмотрим цилиндр с высотой
и радиуса основания yk = f(xk).

Как можно вычислить объём цилиндра? 

Тогда объем нашего цилиндра будет равен 

Тогда объём всего тела может быть записан при помощи приближённого равенства
. Чтобы получить точное равенство надо взять предел 


По определению определённого интеграла
мы получили формулу для вычисления объёма тела вращения.

4. Решение задач
№ 1. Используя формулу объёма тела вращения, получите формулу для вычисления объёма конуса. (слайд 12)


Чтобы воспользоваться полученной формулой необходимо задать с помощью функции прямую, которую будем вращать вокруг оси Ох.
Уравнение прямой y=kx
k – угловой коэффициент прямой k=tg?=

тогда уравнение прямой примет вид 


То есть объём конуса можно вычислить по формуле 

№ 2. (самостоятельно) (слайд 13)
Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= sinx, 0?х??, вокруг оси Ох.

№ 3 Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (слайд 14)



Решение:
Аналогично можно доказать, что объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу можно вычислить по формуле 

Комментариев нет:
Отправить комментарий