Історична довідка

Виникнення завдань інтегрального вирахування пов'язане із знаходженням площ і обсягів. Ряд завдань такого роду був вирішений математиками древньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального числення в значно більшому ступені, ніж диференціального обчислення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Кнідським (бл. 408 -. Ок 355 до н е..). І що широко застосовувався Архімедом (бл. 287 - .. 212 до н е.).
Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального числення. Вчені Середнього та Близького Сходу в IX - XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступний в їх середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному численні вони не отримали.
Діяльність європейських учених в цей час була ще більш скромною. Лише в XVI і XVII століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) і визначення центрів ваги.
Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (на латинській і грецькій мовах), стали привертати широку увагу, і їх вивчення з'явилося одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального числення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального числення. Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівня вирахування.
Математики XVII століття, отримали багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, котрий також зародився в Древній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною F (X), яким проте приписували площа, рівну нескінченно малій величині F (х) ах. У відповідності з таким розумінням шукана площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.
На такої гаданої тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571 -. 1630 рр.) у своїх творах "Нова астрономія" (. 1609 г) і "Стереометрія винних бочок" (. 1615 г) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).
Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598 - 1647 роки) та Е. Торрічеллі (1608 -1647 роки).
У XVII столітті були зроблені багато відкриттів, що відносяться до інтегрального числення. Так, П. Ферма вже в 1629 році вирішив завдання квадратури будь-який кривою у =, де N - ціле (т. е вивів формулу.), І на цій основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновку своїх знаменитих законів руху планет, фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677 роки), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування і диференціювання. Велике значення мали роботи за поданням функції у вигляді статечних рядів.
Однак при всій значимості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання й інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, що відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Стояло ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення і т. п. Але головне вже було зроблено: диференціальне та інтегральне числення створено.
Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (в першу чергу слід назвати імена Л. Ейлера, що завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, і І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики М. В. Остроградський (1801 - 1862 рр..), В. Я. Буняковський (1804 - 1889 рр..), П. Л. Чебишев (1821 - 1894 рр..). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, довів, що існують інтеграли, не виразність через елементарні функції.
Суворе виклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Рішення цієї задачі пов'язано з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 - 1866 рр..), Французького математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Відповіді на багато питань, пов'язаних з існуванням площ і обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1826 - 1922 рр..) Теорії заходи.
Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 рр..) І А. Данжуа (1884 - 1974) радянським математиком А. Я. Хічіним (1894 -1959 рр..)