Застосування первісної в біології

Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.[1]

Если известна скорость роста популяции v t/), то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому

N(t) – N(t) = .

Известно,   что   в   условиях   неограниченных   ресурсов   питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

По формуле, подобной N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

, подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.

Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть  означает возраст в тех или иных единицах времени, а N () — число особей популяции, возраст которых равен . Пусть, наконец, P () — средняя масса особи возраста , а М () — био­масса всех особей в возрасте от 0 до .[1]

Заметив, что произведение N() P () равно биомассе всех осо­бей возраста , рассмотрим разность

M( + Δ) – M(),

где Δ>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от  до  + Δ, удовлетворяет неравенствам:

N () Р ()Δ ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P()Δ,

где N () Р () — наименьшее, а - N()P() — наибольшее значения функции N () Р () на отрезке [, + Δ]. Учитывая, что Δ>0, из неравенств  N () Р ()Δ ≤ M ( + Δ) – M () ≤ N()P()Δ,

имеем:

N () Р () ≤ ≤ N()P()

Из  непрерывности  функции   N () Р ()   (ее  непрерывность  следует из непрерывности N ()  и Р () ) следует, что

[N () Р ()] =  [N()P()] = N () Р ()

Поэтому будем иметь:

 = N () Р ()

или

 = N () Р ()

Следовательно, биомасса М () является перво­образной для N () Р (). Отсюда:

M(T) – M(0) =  N () Р ()dt

Рис 19

где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:

М(Т)=  N () Р ()dt

по матеріалам сайта "Библиофонд" :   http://bibliofond.ru/view.aspx?id=20906#_Toc163656813

Задача 6. В некоторых исследованиях необходимо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. Приведем соответствующий расчет для птиц.

Решение: пусть фиксированным участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико. Тогда большинство птиц изучаемого вида, будет пересекать этот круг по прямой. И птица под любым углом в любой точке может пересечь окружность. Обозначим среднюю длину пролета, через , которая будет равна любой величине от 0 до 2R.

Так как круг симметричен относительно любого своего диаметра, нам достаточно ограничиться теми птицами, которые летят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оy (рисунок). Тогда средняя длина пролета

 - это среднее расстояние между дугами АСВ и АСВ, т.е. это среднее значение функции f(x) - f(x), где y= f(x) - уравнение верхней дуги, а y= f(x) - уравнение нижней дуги, т.е.

 =.

Так как  равен площади криволинейной трапеции АСВb, а  равен площади криволинейной трапеции АСВb, то их разность равна площади круга, т.е. R. Разность = 2R, значит  = .

Ответ: .